８・文章題…集合・要素の個数・倍数
・６・集合算_その７
・その７_要素の個数・倍数…６年
集合算では、いちばん見かける問題でしょうね。公倍数というのは、集合のベン図で重なっているところになります。
・その７_要素の個数・倍数…６年
「重なりの関係（集合）」の基本的な考え方がどのようなものか、ご理解いただけましたでしょうか。
「その５_全体の量と集合」では、２つの条件で分けた４種類のグループの点数の合計を求めことを考えました。
今度もまた「全体の量を集合で考える」ということで、やはり、要素の個数を求める問題を取り上げます。
ある限られた範囲にある倍数の個数を求めようというものです。例題として取り上げられる代表的な問題で、高校数学でも出てきます。集合で定義された言葉を使うかどうかのちがいだけで、考え方はほとんど変わらないと思いますので、練習しておいて損はないと思います。
次のような問題です。「公倍数」と「倍数の個数の求め方」の考え方が必要です。
・例題：要素の個数・倍数
１から１００までの整数について□にあてはまる数を答えなさい。
(1) ４の倍数であって、６の倍数でない数は□個あります。
(2) ４または６で割りきれる数は□個あります。
(3) ４でも６でも割りきれない数は□個あります。
いかがでしょうか。「４の倍数」であることと、「４で割りきれる」ことは同じ意味ですね。
(1) 「４の倍数であって、６の倍数でない数」は、４の倍数グループからから４と６の公倍数のグループをのぞきます。右の図では、アのグループです。
そして、４と６の公倍数のグループはウで、４と６の最小公倍数１２の倍数ですね。ここがポイント。
１００÷４＝２５(個)…４の倍数。１００÷１２＝８あまり４で、８(個)…１２の倍数（ウ）。
２５−８＝１７(個)
(2) 「４または６で割りきれる数」は、アとイとウの３つのグループすべてを指します。
すなわち、「４の倍数であって、６の倍数でない数」と「６の倍数であって、４の倍数でない数」と「４の倍数でもあり６の倍数でもある数（４と６の公倍数）」のすべてを指します。算数・数学の用語だと思って、注意してください。
１００÷６＝１６あまり４で、１６(個)…６の倍数。
２５＋１６−８＝３３(個)。
ちなみに、高校数学では次のように書いて計算しますが、やってることは同じ。そうなんですよ、高校数学なんて半分は外国語習う？ようなところがあります（「ベクトル」あたりは第２外国語(--;)）ので、基本的な部分は学年に関係なく早く目を通して反復練習して慣れた方が受験ではうまくいきます。
ｎ(Ａ∪Ｂ)＝ｎ(Ａ)＋ｎ(Ｂ)−ｎ(Ａ∩Ｂ)。
話が少し脱線してしまいましたが、別の機会に、私の考える効率的な数学学習について触れてみたいと思います。
(3) 「４でも６でも割りきれない数」は、エのグループですね。
全体の数（１００個）から、(2)の「４または６で割りきれる数」を引いて求めます。
１００−３３＝６７(個)。
■練習問題 ■ ・その７_ 要素の個数・倍数 ・【答え】
１から２００までの整数について□にあてはまる数を答えなさい。
(1) ６の倍数であって、９の倍数でない数は□個あります。
(2) ６または９で割りきれる数は□個あります。
(3) ６でも９でも割りきれない数は□個あります。
■練習問題 ■ ・その７_ 要素の個数・倍数・ 【答え】
(1)１１ (2)４４ (3)１５６