8・文章題
・文章題の基本
・植木算
・和差算
・平均算
・つるかめ算
・集合算_その6

8・文章題…集合・ベン図・重なりの範囲

・6・集合算_その6

・その6_重なりのはんいを考える…6年

一般的なベン図では、2つの条件だと4つのグループに分かれます。今度はその人数や個数がはっきり決まらない場合を考えてみましょう。いかにも「集合」らしい考え方で、これも重要だと思います。


・その6_重なりのはんいを考える6年

「重なりの関係を考える(集合)問題」の基本は、2種類の条件で分けてその条件に当てはまるかどうかで4つのグループに分けることです。

今度は、4つのグループの人数なり個数がはっきり何人とか、何個とか決まらないではんいを持つ場合を考えてみましょう。これも「集合」の考え方では重要だと思います。
たとえば、次のような問題です。

・例題:その6_重なりのはんいを考える

次の□にあてはまる数を求めなさい。

クイズの問題を2題、20人の子どもに考えさせました。1番のクイズができた子が15人、2番のクイズができた子が9人いました。2題ともできた子は、何人から何人と考えられますか。

【考え方と答え】

こういったはんいを考える問題は、初めは難しく感じるかもしれません。やはり、図をかいて集合の考え方によく慣れておきましょうね。

2題ともできた子がいちばん多い場合と、いちばん少ない場合に分けて考えます。それぞれの場合の考え方を下の図を見て理解しておきましょう。
自分でも図をかいてこういった考え方を身につけておくといいと思います。

重なりのはんいを考える

まずは、「2題ともできた子がいちばん多い場合」から。

こちらは、まだ考えやすいと思います。2番のクイズができた子の人数が1番のクイズができた子の人数より少ないので、2番のクイズができた子みんなが1番のクイズもできたと考えた時にいちばん多くなります。

したがって、「2題ともできた子がいちばん多い場合」は、9人

この時、2題ともできなかった子の人数は、20−15=5で、5人です。
2題ともできなかった子の人数がどうなるかを考えることも大事です。特に 「2題ともできた子がいちばん少ない場合」は、「2題ともできた子の人数」と「2題ともできなかった子の人数」が連動しますので、要注意です。

「2題ともできた子がいちばん少ない場合」の考え方のポイントは、

・1番のクイズができた子と2番のクイズができた子の人数の和を求め、全員の人数より多いか少ないかを考える。
・1番のクイズができた子と2番のクイズができた子の人数の和が全員の人数より多い場合は、
1番のクイズができた子と2番のクイズができた子の人数の和から全員の人数を引いたものが、「2題ともできた子がいちばん少ない場合」の人数になる。
さらに、この場合、2題ともできなかった子の人数は0人になる。
また、2題ともできた子が1人増えると、2題ともできなかった子も1人増え、逆に、2題ともできた子が1人減ると、2題ともできなかった子も1人減るというふうに、この2つのグループは連動してその数量が変化します

「2題ともできた子がいちばん少ない場合」を計算すると、
15+9=24(人)。24−20=(人)

これらから、問題の答えをまとめると、
2題ともできた子は、4人から9人まで

重なりのはんいを考える・その2

ついでに、上の問題で、2番のクイズができた子の人数が3人、つまり、「1番のクイズができた子と2番のクイズができた子の人数の和が全員の人数より少ない」場合の図は、右のようになります。

したがって、「2題ともできた子がいちばん少ない場合」の人数は0人(いない)ということになります。
また、20−15−3=2で、2題ともできなかった子の人数は2人になります。

いかがでしょう。難しいでしょうか。
でも、小・中学の算数・数学でとばされた「集合」が、高校数学の数Aでいきなりわけの分からない?記号でいかめしく登場しますので、ここでこけないためにもこういった図で考えて慣らしておいたほうがいいかもしれません。
はなから「集合」が出てきて、高校数学ダメだあ〜ってことにならないためにも。中身は、そんなに差がないかもしれませんよ。

 

■練習問題 ■ ・その6_重なりのはんいを考える   ・【答え】

次の□にあてはまる数を求めなさい。

(1) クイズの問題を2題、30人の子どもに考えさせました。1番のクイズができた子が24人、2番のクイズができた子が15人いました。2題ともできた子は、□人から□人と考えられます。

(2) クイズの問題を2題、25人の子どもに考えさせました。1番のクイズができた子が14人、2番のクイズができた子が8人いました。2題ともできた子は、□人から□人と考えられます。

(3) クイズの問題を2題、40人の子どもに考えさせました。1番のクイズができた子が30人、2番のクイズができた子が25人いました。2題ともできなかった子は、□人から□人と考えられます。

(4) クイズの問題を2題、35人の子どもに考えさせました。1番のクイズができた子が20人、2番のクイズができた子が10人いました。2題ともできなかった子は、□人から□人と考えられます。


■練習問題 ■ ・その6_重なりのはんいを考える・  【答え】
(1)9,15 (2)0,8 (3)0,10 (4)5,15

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