8・文章題
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・集合算_その5

8・文章題…集合・全体の量と重なりの関係

・6・集合算_その5

・その5_全体の量と集合…6年

ある条件にあてはまる個数を集合の用語では「要素」の個数などと言いますが、ここでは、「要素」の個数にもう1つ量を加えた問題を考えることにしましょう。少しだけ複雑にしました。チャレンジしてみてください。


・その5_全体の量と集合…6年

「全体の量と集合」ということで、何のことか?と思われて当然です。
・その2_2つの条件でグループ分けしてみよう」に、おひねり1つ。具体的には、それぞれのグループの人数+1人1人の得点という「人数と得点」という2つの量を考えるという少し複雑なものにしてみました。
まずは、次の2つの問題を見比べてください。後の問題の得点をどう解くかということです。

・例題:その5_全体の量と集合

・問題1:
30人のクラスで算数のテストをしました。問題は1番と2番の2題で、1番ができた人が20人、2番ができた人が15人、2題ともできた人が10人でした。1番または2番ができた人は何人いますか。

・問題2:
30人のクラスで算数のテストをしました。問題は1番と2番の2題で、1番が20点、2番が30点の50点満点です。1番ができた人が20人、2番ができた人が15人、2題ともできた人が10人でした。このクラス全員の点数の合計は、何点ですか。

いかがでしょうか?
「問題1」は、「Aまたは(あるいは)B」の集合の個数を求めるという、重なりの関係(集合)の代表的な考え方を利用する問題です。
「問題2」も考え方は同じですが、人数とさらに得点が加わっておりますので、その分難しくなり、注意が必要だということです。

【考え方と答え】

まず、問題1の解法:
1番ができた人の人数と2番ができた人の人数の和を先に求める。この和は、2題ともできた人を2回(重複して)数えているので、その重複をなくすため2題ともできた人の人数を引く。

20+15−10=25(人)。

次のような3つのグループに分ける解法もありますが、少しまわりくどいですね。
20−10=10(人)…1番だけできた人。15−10=5(人)…2番だけできた人。10+5+10=25(人)

次は、問題2の解法:
上のまわりくどい解法の方が、初めは分かりやすいかもしれませんね。

20×10=200(点)…1番だけできた人の合計点。30×5=150(点)…2番だけできた人の合計点。
20+30=50(点)…2題ともできた人の点数。50×10=500(点)…2題ともできた人の合計点。
200+150+500=850(点)。

次は、集合の考え方を使った解法。
20×20=400(点)…1番ができた人の合計点。30×15=450(点)…2番ができた人の合計点。
400+450=850(点)。

全体の量を考えるベン図

次の式の意味を考えてみましょう。

20×20=20×1020×10。30×15=30×530×10
20×20+30×15=20×1020×1030×530×10
20×1030×5+(20×1030×10
20×1030×550×10

ちょっと変だなと感じるかもしれないところは、
得点の合計を求めるときは、「重なりの部分(2題ともできた人の点数の合計点)」を引いていないことでしょうか。

次のようにかんがえてみましょう。
あなたが、この30人分のテストの答案を採点するとします。ふつうは1人1人の答案を採点していきますが、これを30人全員1番だけ先に採点します。そして、その得点の合計を出しておきます。
次に、2番を同じように全員分採点してその得点の合計を出します。
最後に、1番の得点の合計と2番の得点の合計を足します。
この2とおりの計算の考え方と同じなんですね。

 

■練習問題 ■ ・その5_全体の量と集合   ・【答え】

次の□にあてはまる数を求めなさい。

(1) 40人のクラスで算数のテストをしました。問題は1番と2番の2題で、1番ができた人が15人、2番ができた人が24人、2題ともできた人が8人でした。1番だけできた人は□人、2番だけできた人は□人、1番または2番ができた人は□人、1番も2番もできなかった人は□人です。

(2) 36人のクラスで算数のテストをしました。問題は1番と2番の2題で、1番が15点、2番が35点の50点満点です。1番ができた人が24人、2番ができた人が14人、2題ともできた人が12人でした。このクラス全員の点数の合計は、□点です。

(3) 40人のクラスで算数のテストをしました。問題は1番と2番の2題で、1番が40点、2番が60点の100点満点です。1番ができた人が28人、2番ができた人が16人、2題ともできた人が5人でした。このクラス全員の点数の合計は、□点です。


■練習問題 ■ ・その5_全体の量と集合・  【答え】
(1)7,16,31,9 (2)850 (3)2080

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