８・文章題…集合・ベン図・約数どうしの関係
・６・集合算_その４
・その４_約数と集合…６年
約数どうしの関係というのは、たとえば、「３の約数なら必ず６の約数になる」か、それとも「６の約数なら必ず３の約数になる」か、いずれが正しいかなんてことを考える。
倍数どうしの関係とちょうど逆になることを考えよう。
・その４_約数と集合…６年
「倍数と集合」の次は「約数と集合」と続きますが、これにはわけがあります。まあ、これは後で図（ベン図）を見ていただいて、倍数の場合とのちがいを理解してください。
次のようなことを考えてみましょう。
・１２の約数…１，２，３，４，６，１２
・２４の約数…１，２，３，４，６，８，１２，２４
やはり、上の１２の約数と２４の約数に登場する数を見比べてください。
２４の約数の中に１２の約数があり､１２の約数はすべて２４の約数の中にあります。
これも倍数の時と同じように言い換えると、
１２の約数はすべて２４の約数だが、２４の約数はすべて１２の約数であるとは言えないということです。
倍数の時と同じように、１〜２４の整数を１２の約数と２４の約数でグループ分けしたものを図で表すと、次のようになります。
これはよくまちがえるというか、区別して理解しにくいというケースもあるかと思いますので、１つだけ、倍数と約数の集合を考えた場合の注意点を挙げておきましょう。
たとえば、「２の倍数と４の倍数」の集合の関係と、「２のと４の約数」の集合の関係を考えた場合、
「倍数」は２より大きい４の倍数の集合が２の倍数の集合の中に入る（ふくまれる）が、「約数」は、２より大きい４の約数の集合が２の約数の集合を中に入れている（ふくむ）ということで、ちょうど、数の大小が「倍数」と「約数」で逆の関係だということですね。
簡単に言うと、「４の倍数は必ず２の倍数である」。「４の約数は２の約数であるとは限らない（２の約数は必ず４の約数である）」ということですね。
また、「２４の倍数は必ず１２の倍数である」、「１２の約数は必ず２４の約数である」ということにもなります。
こういった考え方は、ある条件にあてはまる倍数や約数の個数を計算する時だけでなく、図形の性質を考える場合（特に図形の証明問題）や、式の証明（高校数学でどっと難しくなります）、必要・十分条件（これも小中学生の段階ではあまり縁がないかもしれませんね）などで大切です。
こういった図をもとに、考える習慣をつけておくというのも１つの手かもしれませんね。
・例題：その４_約数と集合
次の□にあてはまる数を求めなさい。
(1) １から１００の整数のうち、５の倍数でもあり１０の倍数でもある整数は□個あります。
(2) ３２の約数でもあり１６の約数でもある整数は□個あります。
(3) ４２の約数のうち、２１の約数でない整数は□個あります。
分からなければ、自分で図をかいて考えてみてくださいね。
約数の個数だけを求めるのは計算でも可能ですが、ここでは触れません。
(1) １０の倍数は必ず５の倍数であるから、１から１００までに１０の倍数が何個かを考えればよい。
１００÷５＝２０で、２０個。
(2) ３２の約数が１６の約数であるとは限らないが、１６の約数は必ず３２の約数であることを考える。
１６の約数…１，２，４，８，１６。５個。
(3) ４２の約数の中から２１の約数を取り去った個数。
４２の約数…１，２，３，６，７，１４，２１，４２の８個。
２１の約数…１，３，７，２１の４個。
８−４＝４で、４個。
■練習問題 ■ ・その４_約数と集合 ・【答え】
次の□にあてはまる数を求めなさい。
(1) １から２００の整数のうち、３６の倍数でもあり１８の倍数でもある整数は□個あります。
(2) ３６の約数でもあり１８の約数でもある整数は□個あります。
(3) ３６の約数のうち、１８の約数でない整数は□個あります。
■練習問題 ■ ・その４_約数と集合・ 【答え】
(1)５ (2)６ (3)３