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1・数と計算…整数の性質を理解しよう_倍数の見分け方

整数の性質_その17

・その17_倍数の見分け方(1)…6年

偶数の見分け方はごぞんじだと思いますが、3の倍数や、4の倍数、6の倍数、9の倍数などの見分け方はどうでしょう?
また、見分け方自身は知っていても、どうしてそうなるのか考えたことがおありでしょうか。まずは、偶数と3の倍数、6の倍数の見分け方を。


・その17_倍数の見分け方(1)6年

この数は何の倍数か?

たとえば、234が3の倍数かどうかは、3で割り切れれば3の倍数、割り切れなければ3の倍数でないということですね。ですから、234を3で割ってみると商が78、割り切れたから234は3の倍数。こういうふうにやってもいいんですが、もっと簡単な見分け方がありますね。

3の倍数に限らず、代表的な倍数の見分け方を覚えておくにこしたことはありません。以下、簡単に代表的な倍数の見分け方を記しておきますね。ここでは整数を取りあげます。別に特別なコツというほどのものではありませんが、数学の証明問題などでは必要な考え方です。

偶数(2の倍数)か奇数か

まず、基本中の基本。

・一の位が偶数(0,2,4,6,8)ならば、その数は偶数(2の倍数)。
※「0」は偶数としてあつかいます。

整数は偶数(2の倍数)か奇数かで分類できますので、一の位が奇数(1,3,5,7,9)ならば、その数は奇数(2で割ると1余る)ということですね。

例:
・23…一の位が3で奇数だから、23は偶数ではない(奇数)。
・234…一の位が4で偶数だから、234は偶数(2の倍数)。

なぜそうなるのかは、次の3の倍数で説明します。

3の倍数の見分け方

・その数の各位の数字の和が3の倍数ならば、その数は3の倍数。

例:
・23…一の位と十の位の和が、2+3=5で3の倍数でないから、23は3の倍数でない。
・234…一の位と十の位と百の位の和が2+3+4=9で3の倍数だから、234は3の倍数。

234は偶数(2の倍数)でもあり、3の倍数でもあるわけですが、なぜ3の倍数なのか? その理由を考えるのには、分配法則の考え方が必要です。少し難しいかもしれませんが、覚えておいて損はないですね。
参考:「その16…分配法則を考えよう」。「9,99,999,9999,…は3の倍数である」ことを利用します。

まず、234を次のような数の和と考えます。
234=200+30+4。
200+30+4=100×2+10×3+4
=(99+1)×2+(9+1)×3+4…ここで分配法則。
=99×2+1×2+9×3+1×3+4
99×2+9×31×2+1×3+4

99×2+9×3は、3の倍数になります。ここがポイント。99は3の倍数だから、それを2倍しても3の倍数。9×3も同じように考えて3の倍数。3の倍数どうしを足しても3の倍数。したがって、99×2+9×3は、3の倍数。

次は、1×2+1×3+4を考えます。
1×2+1×3+4=2+3+4で、一の位の和になります。
2+3+4=9で、3の倍数。

99×2+9×3(3の倍数)+2+3+4(3の倍数)ということで、この2つの数のグループの和も3の倍数。
したがって、もとの数234は3の倍数ということになります。

いかがでしょうか? 正直、初めてだと少し難しいですね。でも、ここでの計算式の考え方は重要ですね。ぜひ、計算力のみならず応用力アップのため理解しておくことをお勧めします。

2の倍数と3の倍数の見分け方をやりましたが、2の倍数でもあり3の倍数でもあるということは6の倍数であるということですので、6の倍数の見分け方は、一の位が偶数でかつ、各位の数字の和が3の倍数であるかどうかということになります。

・例題:その17_倍数の見分け方

次の数の中から(1)偶数、(2)3の倍数、(3)6の倍数をあるだけ書き出しなさい。

11,43,56,75,90,98
111,120,174,199
1234,2121,3456

【考え方と答え】

(1)偶数:一の位が偶数である数。
56,90,98,120,174,1234,3456

(2)3の倍数:各位の数字の和が3の倍数である数。
75,90,111,120,174,2121,3456。

(3)6の倍数:一の位が偶数でかつ、各位の数字の和が3の倍数である数。すなわち、(1)と(2)のいずれでも出てきた数ですね。
90,120,174,3456

 

■練習問題 ■ ・その17_倍数の見分け方   ・【答え】

次の数の中から(1)偶数、(2)3の倍数、(3)6の倍数をあるだけ書き出しなさい。

16,45,66,73,80,96
110,180,265,399
1021,4312,6543


■練習問題 ■ ・その17_倍数の見分け方(1)・  【答え】
(1)偶数…16,66,80,96,110,180,4312。
(2)3の倍数…45,66,96,180,399,6543。
(3)6の倍数…66,96,180

・その17_倍数の見分け方(1) にもどる

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